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容斥問題在你眼中是否繁瑣呢?采用容斥問題的公式或者借助文氏圖分析，相信雙通道可幫助同學(xué)們繞出容與斥的復(fù)雜;極值問題是否也帶給你困擾?常見和定求最值、為保證完成目的的最不利分析、行走最短路程的探索等，協(xié)助了同學(xué)們一點點熟知極值的脾性。而容斥問題與極值問題共同孕育的容斥極值，讓多集合在全集中使勁擠兌，數(shù)量關(guān)系與資料分析的考查中，它皆是常客。很多同學(xué)感覺它走出了繁瑣與困擾，有些負負得正的韻味。如何分析應(yīng)用呢?

例題1：在陽光明媚的一天下午，甲乙兩人給30盆花澆水，已知甲澆了20盆花，乙澆了17盆花。假設(shè)甲乙兩人給每盆花澆水量相同，且每盆花澆水不宜過量，若重復(fù)澆水需放到室外光照、風(fēng)量較好處養(yǎng)護，那么兩人澆水后至少搬至室外多少盆花?

A.3 B.5 C.7 D.9

【解析】正確答案為C。共有30盆花，甲澆了20盆花，乙澆了17盆花，所以必會存在兩人均澆過的花，即重復(fù)澆水需移至室外養(yǎng)活的花。根據(jù)兩者容斥問題的公式：I=A+B-A∩B+M，即30=20+17-A∩B+M，得A∩B=7+M。若要A∩B最小，那么M的值也要盡可能小，M最小可取0，此時A∩B最小為7，故本題選C。(注：I表示全集，A、B分別表示全集中的兩個集合，M表示既不屬于集合A也不屬于集合B的部分，即補集)

在花朵都如此有求生欲的今天，這一題在考場上又怎會不寶貴呢?但經(jīng)過分析可知此題的計算難度并不高，所求為兩集合公共部分的最小值，即在全集中既不屬于A集合也不屬于B集合的M取得0的前提下求得(A∩B)min=A+B-I。以此類推，若在容斥中求極值，則全集中多集合間公共部分的最小值分為：

(A∩B)min=A+B-I;

(A∩B∩C)min=A+B+C-2I

(A∩B∩C∩D)min=A+B+C+D-3I

……

例題2：2019年年末全國大陸總?cè)丝?40005萬人，比上年末增加467萬人，其中，城鎮(zhèn)常住人口84843萬人，占總?cè)丝诒戎?常住人口城鎮(zhèn)化率)為60.60%，比上年末提高1.02個百分點。戶籍人口城鎮(zhèn)化率為44.38%，比上年末提高1.01個百分點。全國人戶分離的人口占大陸總?cè)丝诘?0%，其中，84.29%為流動人口。

問題：2019年年末，城鎮(zhèn)常住人口中，男性人口占比至少為：

A.5.2% B.11.7% C.17.5% D.19.3%

【解析】正確答案為D。所求為城鎮(zhèn)常住人口中的男性人口占比，由表格可知，2019年年末，城鎮(zhèn)常住人口占全國總?cè)丝诒戎貫?0.6%，男性人口占全國總?cè)丝诒戎貫?1.1%，則既是城鎮(zhèn)常住人口又是男性人口占總?cè)丝诘谋戎刂辽贋?0.6%+51.1%-1=11.7%，則城鎮(zhèn)常住人口中，男性人口至少占11.7%÷60.6%≈19.3%，選擇D項。

容斥極值求解可還容易判定?即求解多個集合公共部分的極值，在數(shù)量關(guān)系與資料分析的考查中均可現(xiàn)影，看似復(fù)雜其實多加訓(xùn)練后，你會對它由陌生到熟悉，好感慢慢升級。所以夯實容斥問題的基底，練就推導(dǎo)本領(lǐng)，即使難題亦可迎刃而解，希望同學(xué)們在訓(xùn)練中都可有更大收獲!

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